fmincon——MATLAB中的函数

一、概述

fmincon是MATLAB中的一个优化函数，它的作用是在约束条件下求解无约束或有约束的非线性优化问题。它使用了基于内点法的算法来实现对优化问题的求解。

fmincon的定义为：[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

二、函数参数

fmincon的参数较为复杂，以下是各参数的解释：

fun：定义了优化目标函数，可以接受一个参数x，并返回一个标量值f。即，f = fun(x)。
x0：定义了目标函数的初始点，x0可以是向量或矩阵。如果fun定义了一个n维目标函数，x0可以是一个n维向量，如果fun定义了一个n维目标函数的向量，x0可以是一个m×n的矩阵，其中每一行代表一个向量。
A：定义了不等式约束矩阵，是一个m×n的矩阵，其中每一行代表一个约束条件。约束条件的矩阵表示为：A*x≤b。
b：定义了不等式约束的值，是一个m维向量。约束条件的矩阵表示为：A*x≤b。
Aeq：定义了等式约束矩阵，是一个p×n的矩阵，其中每一行代表一个等式约束条件。约束条件的矩阵表示为：Aeq*x=beq。
beq：定义了等式约束的值，是一个p维向量。约束条件的矩阵表示为：Aeq*x=beq。
lb：定义了x的下界。lb可以是一个n维向量或一个标量，其中标量表示针对所有的x。
ub：定义了x的上界。ub可以是一个n维向量或一个标量，其中标量表示针对所有的x。
nonlcon：定义了一个非线性约束函数，它可以使用约束向量。即，c(x)≤0表示非线性小于等于约束，c(x)>=0表示非线性大于等于约束，c(x)=0表示非线性等于约束。
options：定义了优化时的选项参数。

三、使用示例

1. 无约束优化

    function y=fmincon_nlb_demo()
    y = fmincon(@fun,[-0.5,1.0],[],[],[],[],[],[],@nonlcon);
    function [fun_value,grad] = fun(x)
      fun_value = x(1)^4-2*x(1)^2*x(2)+x(1)^2+x(1)+x(2)^2-2*x(1)+4;
      grad = [4*x(1)^3-4*x(1)*x(2)+2*x(1)+1;-2*x(1)^2+2*x(2)];
    end
    function [cineq,ceq,gcineq,gceq]=nonlcon(x)
      cineq = [2*x(2)-x(1)^2-1.0;3-x(1)];
      ceq = [];
      if nargout > 2
        gcineq = [-2*x(1),2; -1,0];
        gceq = [];
      end
    end
end

上面的例子演示了如何使用fmincon函数实现一个无约束优化问题。在此例子中，定义了一个目标函数fun(x)，而它的梯度在约束函数nonlcon（x）中被设置为一个空矩阵。通过调用fmincon函数，可以得到产生最小值的向量作为结果。

2. 有约束优化

   function y=fmincon_lb_demo()
    A = [];
    b = [];
    Aeq = [];
    beq = [];
    lb = [-1;-1];
    ub = [1;1];
    y = fmincon(@fun,[-0.5,1.0],A,b,Aeq,beq,lb,ub,@nonlcon);
    function [fun_value,grad] = fun(x)
      fun_value = x(1)^4-2*x(1)^2*x(2)+x(1)^2+x(1)+x(2)^2-2*x(1)+4;
      grad = [4*x(1)^3-4*x(1)*x(2)+2*x(1)+1;-2*x(1)^2+2*x(2)];
    end
    function [cineq,ceq,gcineq,gceq]=nonlcon(x)
      cineq = [2*x(2)-x(1)^2-1.0;3-x(1)];
      ceq = [];
      if nargout > 2
        gcineq = [-2*x(1),2; -1,0];
        gceq = [];
      end
    end
end

上面的例子演示了如何使用fmincon函数实现一个带约束的优化问题。在此例子中，设置了不等式约束矩阵A和向量b以及上下界lb和ub。通过调用fmincon函数，可以得到产生最小值的向量作为结果。

四、方法选择

fmincon提供了不同的方法来进行优化，这些方法可以通过options参数来设置。以下是fmincon中可用优化方法的列表。

active-set：针对有线性似的约束，使用基于我们称之为Active Set的方法。它是适用于中等规模问题的一种方法。
interior-point：使用基于内点法的方法，它能够求解大规模的非线性优化问题。
sqp：使用Sequential Quadratic Programming（SQP）方法，该方法特别适用于带非线性约束的优化问题。

为了选择最适合您问题的方法，请首先尝试使用默认方法。如果默认方法不起作用，或者您需要更快的方法，您可以考虑使用其他的方法。请注意，除了默认方法之外，其他方法可能需要更多的内存或更长的计算时间。以下是选择方法的代码示例：

    options=optimset('Algorithm','active-set');
    [x,fval,exitflag,output]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options);

五、输出参数

fmincon的输出包含了最优解、最优值、退出标志、迭代次数、迭代输出、拉格朗日乘子和目标函数的梯度和黑塞矩阵（一般情况下，黑塞矩阵不能直接使用）。

x：代表最优解向量
fval：代表目标函数的最小值
exitflag：代表终止标志，如果它为正值，则表示找到了满足约束条件的最小值，值越接近0代表越卡在边界上，如果小于0则表明没有找到解。
output：是一个结构，包含了一些额外的输出参数
lambda：是一个结构，在最优解的位置处计算一个较低层次的函数的梯度。每个输出都是一个向量或是矩阵。
grad：代表目标函数的梯度
hessian：代表Hessian矩阵。它是目标函数二阶导数的导数，因此只有在目标函数是二次函数时才能使用。

六、总结

fmincon是MATLAB中一个非常重要的函数，它可以实现各种类型的优化问题的求解，包括无约束和带约束优化问题。使用fmincon可以快速且可靠地求解一些复杂的最优化问题。熟练掌握fmincon的使用方法，可以提高工程开发效率。

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