numpy插值详解

一、插值概述

在数值计算中，很多时候需要根据一些已知数据点的取值，来计算这些数据点之间未知位置的函数取值。这个过程就叫做插值。通俗的理解，插值就是根据已知的点，找到一条连贯的曲线来代表这些点，从而方便进行计算、分析等。

numpy是一个重要的数组计算库，其中包含有插值模块，可以进行一维、二维及多维的插值计算。本文将主要从以下几个方面对numpy插值进行详解。

二、一维插值

numpy中实现的一维插值算法主要有线性插值、二次插值、三次插值等。其中，线性插值是在相邻的两个已知数据点之间，用线性函数拟合得到未知位置的函数取值；而二次插值和三次插值则是在三个或更多个已知数据点之间，分别用二次函数和三次函数进行拟合得到未知位置的函数取值。

以下代码示例中，演示了numpy一维插值的具体使用方法。其中，将给定一组数据点，然后使用三种不同的插值算法对数据进行插值计算。

import numpy as np
from scipy.interpolate import interp1d

# 随机生成一组数据点
x = np.linspace(0, 10, num=11, endpoint=True)
y = np.cos(-x**2/9.0)

# 应用线性插值进行插值计算
fl = interp1d(x, y, kind='linear')
xnew = np.linspace(0, 10, num=101, endpoint=True)
ynew = fl(xnew)

# 应用二次插值进行插值计算
fq = interp1d(x, y, kind='quadratic')
ynew2 = fq(xnew)

# 应用三次插值进行插值计算
fc = interp1d(x, y, kind='cubic')
ynew3 = fc(xnew)

三、二维插值

在二维插值中，numpy中实现的算法有线性二维插值、二次二维插值以及样条插值。其中线性二维插值和二次插值与一维插值类似，只不过是在二维坐标系中进行计算；而样条插值则是在二维坐标系中，通过拟合多个局部二次函数得到整个二维平面上的函数。

以下代码示例中，给出了一个包含一定噪声的二维数据，然后使用三种不同的插值算法进行插值计算。

import numpy as np
from scipy.interpolate import interp2d

# 在二维平面上生成一组含有噪声的采样数据
x = np.linspace(-1, 1, 20)
y = np.linspace(-1, 1, 20)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = np.sin(np.sqrt(X*X + Y*Y)) + np.random.normal(size=X.shape) * 0.1

# 应用线性二维插值进行插值计算
f = interp2d(x, y, Z, kind='linear')
xnew = np.linspace(-1, 1, num=50, endpoint=True)
ynew = np.linspace(-1, 1, num=50, endpoint=True)
Znew = f(xnew, ynew)

# 应用二次二维插值进行插值计算
f2 = interp2d(x, y, Z, kind='quadratic')
Znew2 = f2(xnew, ynew)

# 应用样条插值进行插值计算
from scipy import interpolate
tck = interpolate.bisplrep(X, Y, Z, s=0)
Znew3 = interpolate.bisplev(xnew, ynew, tck)

四、多维插值

除了一维、二维插值之外，numpy还支持进行高维插值。特别地，在多维空间中的插值计算中，常见的插值方式是“样条插值”。在进行样条插值时，通常需要通过线性插值将多维数据点转化为曲面上的节点，并在节点上分别进行多维样条插值的计算。

以下代码示例中，演示了一个简单的三维插值计算。其中，将给定一组三维数据点，将其假设为某个高维函数的样本数据，然后通过样条插值进行高维函数值的计算。

import numpy as np
from scipy.interpolate import RegularGridInterpolator

# 在三维空间上生成一组含有噪声的采样数据
x = np.linspace(0, 1, 10)
y = np.linspace(0, 1, 10)
z = np.linspace(0, 1, 10)
data = np.sin(np.pi*x) * np.cos(np.pi*y) * np.tan(np.pi*z) + np.random.normal(size=(10,10,10)) * 0.1

# 生成三维的插值函数
f = RegularGridInterpolator((x,y,z), data)

# 通过插值函数进行插值计算
xnew = np.linspace(0, 1, 50)
ynew = np.linspace(0, 1, 50)
znew = np.linspace(0, 1, 50)
coords = np.meshgrid(xnew, ynew, znew)
values = f(coords)

五、小结

本文从一维、二维、多维三个方面对numpy插值进行了详细的讲解。插值作为数值计算中的一项重要操作，可以方便、准确地推算未知位置上的数据点值。numpy的插值模块提供了多种插值方式，可以应对不同的数据情况。此外，了解numpy插值的使用方式，能为科学计算等领域提供很多便利和工具。

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