php代码实现平衡二叉树详解（平衡二叉树实现的实例）

本文目录一览：

• 1、设计算法统计二叉树中平衡结点的个数
• 2、题目3． 平衡二叉树算法查找树中某节点的时间复杂度是多少？
• 3、二叉排序树的建立的过程中是如何实现平衡
• 4、平衡二叉树为什么叫AVL？

设计算法统计二叉树中平衡结点的个数

平衡二叉树

：首先要求是一棵二叉排序树，然后要求每个结点的平衡因子（左子树高度减右子树高度）在1，0，-1之间。

给定二叉树根节点root, 编程判断一个二叉树是否为平衡二叉树

算法思路：按照某种遍历规则遍历二叉树，在遍历的过程中，检查根是不是大于左子树（不空时）的根而且小于右子树（不空时）的根，并计算左右子树高度之差是在在1，0，-1之间。如果所有结点都满足这两条件则为平衡二叉树

题目3． 平衡二叉树算法查找树中某节点的时间复杂度是多少？

平均查找的时间复杂度为O(log n)。

平衡树的查找过程和排序树的相同。在查找过程中和给定值进行比较关键字个数不超过树的深度。

如果二叉树的元素个数为n，那么不管是对树进行插入节点、查找、删除节点都是log(n)次循环调用就可以了。它的时间复杂度相对于其他数据结构如数组等是最优的。

是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。常用算法有红黑树、AVL、Treap、伸展树等。

扩展资料：

二叉树也是递归定义的，其结点有左右子树之分，逻辑上二叉树算法有五种基本形态：

(1)空二叉树——(a)

(2)只有一个根结点的二叉树——(b);

(3)右子树为空的二叉树——(c);

(4)左子树为空的二叉树——(d);

(5)完全二叉树——(e)

注意：尽管二叉树与树有许多相似之处，但二叉树不是树的特殊情形。

参考资料来源：百度百科-二叉树算法

二叉排序树的建立的过程中是如何实现平衡

它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的高度之差之差的绝对值不超过1.。常用算法有：红黑树、AVL树、Treap等。平衡二叉树的调整方法平衡二叉树是在构造二叉排序树的过程中，每当插入一个新结点时，首先检查是否因插入新结点而破坏了二叉排序树的平衡性，若是，则找出其中的最小不平衡子树，在保持二叉排序树特性的前提下，调整最小不平衡子树中各结点之间的链接关系，进行相应的旋转，使之成为新的平衡子树。具体步骤如下：⑴ 每当插入一个新结点，从该结点开始向上计算各结点的平衡因子，即计算该结点的祖先结点的平衡因子，若该结点的祖先结点的平衡因子的绝对值均不超过1，则平衡二叉树没有失去平衡，继续插入结点；⑵ 若插入结点的某祖先结点的平衡因子的绝对值大于1，则找出其中最小不平衡子树的根结点；⑶ 判断新插入的结点与最小不平衡子树的根结点的关系，确定是哪种类型的调整；⑷ 如果是LL型或RR型，只需应用扁担原理旋转一次，在旋转过程中，如果出现冲突，应用旋转优先原则调整冲突；如果是LR型或LR型，则需应用扁担原理旋转两次，第一次最小不平衡子树的根结点先不动，调整插入结点所在子树，第二次再调整最小不平衡子树，在旋转过程中，如果出现冲突，应用旋转优先原则调整冲突；

平衡二叉树为什么叫AVL？

平衡二叉树(Balanced Binary Tree) 是二叉搜索树（又名二叉查找树排序二叉树）的一种。在二叉搜索树中，搜索、插入、删除的复杂度都和书的高度相关，因此树高是制约二叉搜索树时间效率的最大瓶颈。理论上，任意高度为h二叉树最多能容纳2h − 1个元素，即h=O(lg n)。实际上，由于普通二叉树的形态常常受操作顺序的影响，各子树左右儿子节点数目相差比较大，极端情况下，二叉树蜕化成一条链，此时h=O(n)

平衡二叉树通过一组平衡化旋转规则，使得各个子树的形态发生变化，从而使树高趋近于lg n。

常见的平衡二叉树有如下的几种

AVL树 其主要思想是维护树高，使之平衡

红黑树 其主要思想是对节点染色，对不同颜色的节点采用不同的判断，编程复杂度较高

AA树 是红黑树的一种特例

伸展树 有四种旋转规则

Treap 其主要思想是对每个节点附加随机权值，并根据权值维护为堆，因此被命名为Tree+Heap=Treap，其编程复杂度较低，性价比较高。

Size Balanced Tree 其主要思想为直接维护各子树的节点个数，使之严格平衡。其论文由中国OIer广东纪念中学的陈启峰于2006年底完成，并在Winter Camp 2007中发表。